Fractales, la huella digital de Dios

Una página en blanco, mi pesadilla recurrente, esa a la que me enfrento cada mes. La que me entrega a instantes en los que muchas veces me repito, zapatero a tus zapatos. Pero se queda en eso, en simple instante.  Ya decidido de lo quiero escribir en cada ocasión, documentado mediana y adecuadamente, como mínimo, en esos momentos sólo es cuestión de superar el remolino de cuasi pánico que me genera el blanco de la pantalla, de comenzar a montar las primeras frases y algún párrafo, porque de pronto, como con una ráfaga de lucidez, la historia se va montando en la pantalla.  Y entonces los dedos se pegan a las teclas y corren solos, empujados por las sinapsis impulsivas de mis neuronas, esa redacción que se adueña de mi mente, y aunque yo pare (para cenar o fumar), el cerebro sigue trabajando en ello; alguna vez me ha pasado que, en la cama y ya entrando en el sueño, sé qué es lo que no me acaba de convencer del texto, incluso habiéndolo ya enviado. Sinapsis, neuronas, teclado, una mezcla ciertamente caótica, a la que dejo fluir más o menos a su aire, sin demasiado control ni análisis, ya llegará el tiempo de corregir y pulir. Escribo y escribo, leo, no me gusta esta frase, borro, entremezclo, se me cruza una idea que mejora al párrafo de ahí arriba, vuelvo atrás, rectifico. Quizás sea esta tormenta de sensaciones la que me hace disfrutar tanto de la escritura, la que me hace sentirme muy viva.

No sé si habrán sido los calores de agosto, o mi confinamiento casi riguroso que dura ya demasiadas semanas, o la pérdida de esa antigua normalidad que tardará mucho en regresar (si es que lo hace) o quizás la enésima infección, esa recurrencia mensual que machaconamente me recuerda que los antibióticos existen, no sé cuál ha sido la causa precisa, quizás una mezcla de todas ellas y alguna otra que se haya cruzado en mi camino y que conscientemente ignoro, pero agosto ha sido el mes en el que más me ha costado decidir sobre la materia a redactar. He recogido información de dos o tres temas sin que ninguno me convenciese lo suficiente (los mismos que están guardados, y que seguramente en los próximos meses alguno de ellos me enamorará hasta las trancas). Y en medio de ese embrollo de inspiración, se me cruzó un artículo, quizás fue una imagen, probablemente sólo un reflejo del remolino

de mi caos, pero allí estaban: fractales, sugerentes y desconocidos, y de ellos quería escribir para el artículo de septiembre.

Fractales

Ahí que me lancé a recopilar información, con una vaga y superficial idea de lo que realmente eran y significaban. Y me he encontrado con una geometría y una matemática totalmente ligadas a la teoría del caos, con connotaciones cuánticas. Con menudo muro he topado. Por eso os ruego una buena dosis de piedad y misericordia si me pierdo en estos vericuetos científicos, mucho más sofisticados de lo que posiblemente mi estructura cerebral y mi capacidad intelectual puedan asimilar.

Fractales, una palabra hermosa, de procedencia latina, que sirve para nombrar a figuras asombrosamente bellas, laberínticamente repetitivas, estructuralmente revueltas. Imágenes atrayentes, caóticamente regulares, quizás regularmente caóticas.

Ejemplo de fractal en una flor

Desde el principio de los tiempos el ser humano ha sido un hábil reconocedor de patrones, tanto de colores, formas, sonidos, geométricos, temporales, espaciales. Y es justo esa habilidad de reconocer y crear esas secuencias lo que constituye una ventaja adaptativa de nuestra especie.

Es difícil dar una definición exacta y precisa de lo que realmente es un fractal. Pero creo que a nosotros nos bastará con saber que son objetos con estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Y esa determinada geometría se repite indefinidamente, produciendo una estructura final de una complicación aparentemente extraordinaria y con la propiedad de que cada pequeña porción contiene la información necesaria para reproducirlo todo.

Sección de la naturaleza que semeja un fractal

En la naturaleza existen muchas estructuras de tipo fractal, objetos que están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos. Flores como las dalias, las gardenias y los crisantemos, helechos, verduras como la coliflor romanescu, las plumas de un pavo real, las escamas de los peces, las ramas de un árbol, el vuelo de una bandada de pájaros, un copo de nieve, los rayos, las nubes, las olas, las divisiones de una hoja, las grietas de un terreno agotado por la sequía, las formas de las costas… Nuestro mundo se nos presenta con forma de fractal, aunque no sean fácilmente perceptible.

Aunque fractal es un término relativamente nuevo (apenas tiene cincuenta años), su existencia matemática comenzó a intuirse desde principios del siglo XX. De hecho, fue el matemático francés Gastón Maurice Juliá (1893-1978) el precursor del tema, aunque posteriormente su trabajo fue olvidado hasta que en 1982 Benoit Mandelbrot publicó Fractal Geometry of Nature; a partir de ese momento el trabajo de Juliá obtuvo el reconocimiento merecido.

Gascon Maurice Julia y Benot Mandelbrot

Mandelbrot se dedicó toda la vida a buscar una base matemática simple para las formas irregulares del mundo real. Le parecía perverso que los matemáticos hubieran pasado siglos contemplando formas idealizadas como líneas rectas o círculos perfectos. El caos y la irregularidad del mundo (a lo que denominaba aspereza) era algo para celebrar.

«Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la corteza de los árboles no es lisa, ni los rayos viajan en línea recta»  – B. Mandelbrot – Pero Mandelbrot no tenía una forma adecuada o sistemática de describir las formas ásperas e imperfectas que dominan el mundo real. Aunque percibió que sus formas tenían algo en común, algo intuitivo, accesible y estético; era que al observarlas detenidamente y con atención, su complejidad seguía presente a menor escala. Expuso sus primeras ideas sobre fractales en su artículo ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?, publicado en la revista Science, en el año 1967. En él argumentaba que la longitud de una línea costera (por ejemplo, la costa de Gran Bretaña) depende de la regla con la que la midamos. En líneas generales, la costa tendrá mayor longitud cuanto menor sea la unidad de medida utilizada. Mandelbrot intentaba encontrar alguna explicación para los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza, además del  comportamiento aparentemente caótico de muchos fenómenos. Es posible que por ello buscara un nuevo término: fractal (del latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975.

Mandelbrot se dio cuenta de que la autosimilitud era la base de un tipo completamente nuevo de geometría; es a eso a lo que le dio el nombre de fractal, y es a eso a lo que a veces se le llama la huella digital de Dioso también el código genético de la naturaleza.

¿Qué pasaría si se pudiera representar esa propiedad de la naturaleza en las matemáticas y capturar su esencia para hacer un dibujo? La respuesta vendría del mismo Mandelbrot, quien había aceptado un trabajo en IBM a fines de la década de 1950 para obtener acceso a su increíble poder de cómputo y dar rienda suelta a su obsesión con las matemáticas de la naturaleza.

átomos y fractales

Comenzó a investigar una ecuación muy curiosa y extrañamente simple que podía usarse para dibujar una forma muy inusual. Es el conjunto de Mandelbrot, un paisaje arremolinado, plumoso y aparentemente orgánico que recuerda al mundo natural, pero es completamente virtual. Es infinitamente complejo, pero está construido a partir de una ecuación extremadamente simple que se repite sin cesar. Del mismo modo, las formas fractales naturales se construyen mediante reglas simples, en última instancia, las interacciones entre los átomos. Cuanto más cerca examines esta imagen, más detalles verás.

A esta altura del artículo sabemos algo más de los fractales y conocemos un poco la historia de los matemáticos que los definieron. Pero ahora imagino que soy matemático y quiero decidir si un objeto tiene geometría fractal, ¿qué debería observar o medir para poder decidir? Es decir, cuáles son las características principales que definen a  un fractal.

De forma general podemos decir que un objeto fractal debería tener, al menos, más de una de las siguientes características:

– Existe similitud entre detalles a gran escala y a pequeña escala
– No se puede representar por medio de la geometría clásica
– Su dimensión es fraccionaria, es decir, no es entera
– Se repite indefinidamente, definido por un simple algoritmo recursivo.
– Tiene perímetro de longitud infinita pero un área limitada.

Se dice que un punto tiene dimensión 0, una línea dimensión 1, una superficie dimensión 2, y un volumen dimensión 3. Una curva fractal que recorre una superficie puede ser tan irregular que casi llene la superficie en la que se encuentra. Podemos imaginarnos, pues, que la irregularidad del fractal conduce a un aumento de su dimensión: una curva fractal tiene una dimensión comprendida entre 1 y 2, y una superficie fractal la tiene entre 2 y 3. Así pues, la dimensión de los fractales, al contrario de los que ocurre en la geometría euclidiana, no es entera.

fractales denominados geometría divina

La geometría fractal o de la naturaleza no sólo encierra una belleza en sí misma, sino que atesora los cimientos del orden y de la regularidad. En este sentido está emparentada con la sucesión de Fibonacci, llamada por algunos geometría divina, y que fue demostrada por filósofos y matemáticos de la antigüedad, como Platón o Pitágoras, que la distinguieron claramente de la geometría más matemática y medible. Los fractales aportan una complejidad extra a las figuras irregulares, una dimensión adicional a la clásica representación tridimensional.

Estamos rodeados por fractales, tanto artificiales como naturales y a poco que ejercitemos nuestra percepción, podremos intuir rasgos fractales tanto en mandalas como en el arte arábigo o azteca, También se pueden adivinar en la pintura, en artistas como Dalí, Pollock o M.C. Escher, aunque no sabemos si se documentaron sobre el tema.

fractales en arquitectura y mangalas

También podemos encontrar frecuencias fractales en el sonido de una catarata, en la música de Bach o el golpeteo que producen las olas del mar. Bach sometió las matemáticas a la estética musical, se ha dicho que sus composiciones están muy próximas a la perfección matemática y que en algunas de ellas hay acertijos matemáticos. Para comprender la esencia de esta composición hay que tener en cuenta que el compositor alemán compuso sus piezas musicales en base a la fuga y al canon, dos elementos musicales que se basan en la repetición de melodías a diferentes escalas o velocidades. La fuga y el canon no son otra cosa que fractales musicales, iteraciones armoniosas.

dibujo bronquios humanos

Los fractales se manifiestan también en el cuerpo humano, forman parte de su biología. Por ejemplo, el sistema circulatorio está constituido por un sinfín de ramificaciones tubulares, que van desde el tamaño de las arterias y venas principales, a los capilares ínfimos que oxigenan y arrastran los residuos a nivel celular. Lo mismo ocurre con la forma fractal de nuestros bronquios y alveolos pulmonares, que nos permite maximizar el intercambio de CO2 y oxígeno en cada inspiración.

Y que curiosamente se asemeja muchísimo a la forma de las ramas de los árboles, teniendo ambos la misma función: la respiración del organismo.

También durante siglos se había pensado que el corazón humano late de forma regular y lineal, pero finalmente se ha demostrado que existe un patrón fractal determinado para los latidos de un corazón sano. Investigadores de la Harvard Medical School han demostrado que las alteraciones en la escala fractal pueden ser la base de alteraciones fisiopatológicas, incluido el síndrome de muerte súbita cardíaca.

detalles de fractales en el espacio

Estamos comprobando que las aplicaciones de la matemática fractal abren nuevos caminos en múltiples y variadas disciplinas, desde el estudio de tumores y su crecimiento hasta en tecnologías que dependen de los fenómenos físicos, pasando por la cuantificación del CO2 que procesa un bosque o cómo se extiende el fuego en un incendio forestal. Si todo el planeta responde a la dimensión fractal, es lógico suponer que en el universo también podremos observar patrones similares. Actualmente las matemáticas fractales se aplican al estudio de diferentes fenómenos físicos como la curvatura del espacio-tiempo, por ejemplo, algo que la   geometría euclidiana no podía describir, tal y como alegaba el propio Albert Einstein.

También se utilizan para analizar la formación de las estrellas, ya que las nubes de partículas (igual que las de lluvia) se forman siguiendo el principio de autosimilitud, con patrones irregulares pero recurrentes.  

Conjunto de Mandelbrot

En un párrafo anterior ya nombré al conjunto de Mandelbrot, y ahora quiero de nuevo referirme a él. Una de las cosas más asombrosas sobre dicho conjunto es que, en teoría, si se deja solo, continuaría creando patrones infinitamente nuevos a partir de la estructura original, lo que demostraría que algo podría ampliarse para siempre.

Sin embargo, toda esta complejidad proviene de una ecuación increíblemente simple lo que nos hace replantearnos la relación entre simplicidad y complejidad. Hay algo en nuestras mentes que dice que la complejidad no nace de la simplicidad, sino que debe surgir de algo complicado. Pero las matemáticas de este conjunto evidencian que reglas muy simples dan lugar naturalmente a objetos muy complejos.

Es una idea asombrosa. Y parece que se aplica a todo nuestro mundo.

bandada de pájaros

Observemos una bandada de pájaros (ahora que se acerca el otoño, será un buen momento fijarse en los estorninos que se preparan para emigrar hacia el sur). Cada pájaro se comporta de acuerdo con reglas muy simples. Pero el grupo en su conjunto hace movimientos y realiza acciones increíblemente complicadas, como evitar obstáculos y navegar por el planeta sin un solo líder o sin un plan consciente. Es imposible predecir cómo se comportará. Nunca repite exactamente lo que hace, incluso en circunstancias aparentemente idénticas, los patrones son ligeramente diferentes; similares, pero nunca idénticos.

Y lo mismo ocurre con los árboles. Sabemos que producirán un cierto tipo de patrón, pero eso no quiere decir que podamos predecir las formas exactas, pues algunas variaciones naturales, causadas por las diferentes estaciones, el viento o algún accidente ocasional, hace que sean únicos.

Eso quiere decir que las matemáticas fractales no pueden usarse para predecir los grandes eventos en los sistemas caóticos, pero sí pueden decirnos que tales eventos sucederán.

La matemática fractal, junto con el campo relacionado de la teoría del caos, reveló la belleza oculta del mundo, inspiró a científicos en muchas disciplinas, incluyendo cosmología, medicina, ingeniería y genética, y también a artistas y músicos.

Nos demostró que el Universo es fractal e inherentemente impredecible.

fractales caóticos

Creo que va siendo hora de acabar mi historia sobre los fractales. Cuanto más los conozco, más me fascinan y eso que mi conocimiento es muy escaso, exageradamente limitado.

Si aún dudáis de la belleza que esconden o muestras, os recomiendo que copiéis el siguiente enlace en vuestro buscador https://youtu.be/PD2XgQOyCCk (de la página Another Day in Lab); es un viaje adentrándonos en el conjunto de Mandelbrot con el zoom. Cuando me quiera bajar de este mundo, ya sé al universo al que huiré.

Y a vosotros os espero en el número de octubre, a ver por dónde me pierdo en esta ocasión. Gracias por estar ahí.

Fuentes y Referencias:
My flowers, Ko Palae, Applauss, A hombros de gigantes, Ciencia y tecnología (Benoit B. Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter, Ian Stewart), Gizmodo, Gobierno de Canarias, BBVA Open Mind (Dory Gascueña), BBC (Dalia Ventura), plefiboticseferre blogspot, El Mundo, El País, RTVE, ABC Ciencia (Pedro Gargantilla), Alberto Coto, Comprendamos.org (Joan Josep Solaz-Portolés), Fractovía, Wikipedia (Benoît Mandelbrot, Kenneth Falconer, Ian Stewart, M. Barnsley, A. E. Jacquin, Sanaz Sadegh, Alessandra Carbone, Paul S. Addison, Matthew B. Enright, H. Takayasu, Li Jun, Yves Meyer, Sylvie Roques, K. R. Sreenivasan, Kenneth Falconer, Didier Sornette, Tomás Marco, Fredy Vargas), Xataka Ciencia, Another Day in Lab,

© Carmela Pérez Nuñez